１．契約書類が郵送で自宅に届いてバレる
契約した際に契約書などを交わす必要があります。

【解決策】これに関しては、申し込みをインターネットで行うことにより解決ができます。
スマホやパソコンからインターネットでかんたんに申し込みができますので、それだけで解決できてしまいます。

２．キャッシング用カードが郵送で自宅に届いてバレる

【解決策】これに関しては、カードを自分で取りに行けば解決できます。
店舗もしくは無人契約機で受け取ることができますので、取りに行きましょう。
近くに店舗や無人契約機がない場合は少し面倒ですが、確実な方法です。

３．振込借入をした場合、利用明細書が郵送で自宅に届いてバレる
振込借入をすると利用明細書が発行され郵送されてきます。
これはカードが不正に使われていないかどうか、利用者の安全を守るために法律で義務付けられていることなので、仕方のない事です。
参考：アコムの振込借入：http://www.acom.co.jp/p/members/transfer.html

【解決策】コレに関しては、振込借入を利用しないという方法が解決策となります。
振込借入ではなく、ATMを利用してお金を引き出せば利用明細が郵送されません。